된사람 되기

A singularity occurs when the middle rotation in the sequence makes the rotation axes of the first and third rotations parallel.

(A singularity in a three-angle sequence is sometimes referred to as gimbal lock.)

Think about the PUMA560 robot whose 4th joint and 6th joint are aligned. If 4th joint increases and 6th joint decreases with same rates at the same time, the orientation of end effector will not be changed.

So, we lose some degree of freedom!

* Ref :

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn

For N-dimensional space the number of angles required is quadratic N(N-1)/2. The Wikipedia page for Euler angles has the explanation.

* Ref :

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn

Extrinsic rotation (fixed angle)

• 12 representations

Intrinsic rotation

• Euler angles (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
• Tait–Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).
  (cardan angles, roll-pitch-yaw, ...)

* Ref :

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

We can recognize the rotation matrix is the transposed matrix of the upper equation.

* Ref :

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn

Pose is described by just 3 numbers:

• Offset in the x-direction
• Offset in the y-direction
• A rotation angle

The homogeneous transformation is inefficient in this respect, requiring three times as many numbers as actually required. Some of those 9 numbers have fixed values like 0 or 1, and others repeated or repeated with a different sign. Its advantage is the ability to compound poses by matrix-matrix multiplication, or transform vectors by matrix-vector multiplication. These operations are very convenient to express in an environment like MATLAB, and with modern computers the extra computation required is almost insignificant.

* Ref :

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn

Euclidean geometry 

The description of 2D and 3D geometrical shapes in terms of fundamental axioms

Cartesian geometry 

The description of 2D and 3D geometrical shapes in terms of algebraic equations

* Ref 

[1] https://moocs.qut.edu.au/courses/814/learn?edcast_ref=16351

[2] https://moocs.qut.edu.au/courses/791/learn

아래 사이트의 동영상을 보면 정말 좋다.

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate_bases/eigen_everything/v/linear-algebra-finding-eigenvectors-and-eigenspaces-example

경영 카운셀러 '유정식' 님의 글에 의하면 깔끔하지 못한 글의 습관은 아래와 같다. 

이에대한 수정이 함께 제시되어 있어 간략하게 요약해 보았다. 

1. '및' 
   
• '~와(과)', '~하고' 
2. '~시',  '~하도록 한다.' 
• '~할 때', '~한다.'
3. '~대하여', '~관하여'
• 최대한 사용하지 않는다.
4. '~할 수 있다.'
• '~한다.'
5. '~하고 있다.'
• '~한다.'
6. '~시킨다.'
• '~한다.'
7. 명사형의 나열
• 명사형을 지양하고 서술어를 적절히 사용한다.
8. '~성'
• 남용을 지양한다.

* Ref

[1] http://www.infuture.kr/338

* 아래 내용은 아직 본인도 명확히 이해를 하지 못하고 있으며, 생각을 하면서 끄적인 글이라 타인에게 오히려 혼란을 줄 수도 있으나, 생각의 과정이 의외로 타인에게 도움이 되는 경우가 있으므로 공개한다. 
(결론은, 결코 추천할 만한 글이 아님.. T.T)

최적화 문제를 풀기 위해서 partial derivative 문제를 풀 일이 발생하였다.

나는 linear algebra의 편리한 사용을 위해 Eigen을 사용하고 있다.

(다른 좋은 tool도 많겠지만.)

일단 Eigen에서는 partial derivative를 따로 제공하고 있지는 않다.

다만 Automatic Differentiation 기능을 제공한다.

그렇다면 Automatic Differentiation 기능이란 무엇일까?

http://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation 를 참조하면 아주 잘 설명되어 있다.

    와 같은 chain rule을 사용하여 numerical하게 differentiation 계산을 한다고 보면 된다. 

이 때 주의해야 할 점은, 기존의 numerical differentiation 방법과는 차이가 있다는 것이다. 

기존의 방식 중에 forward 방식을 예로 들어 생각해 보자. 

  와 같이 표현된다.

따라서 이 h를 얼마나 미소하게 쪼갤 수 있느냐에 따라 그 성능이 결정된다고 볼 수 있다.

물론 이 때 발생하는 오류에 대한 분석이 없는 것은 아니다.

 ( 이 때, c는 물론 양 쪽 input 값의 중간 값을 의미한다.)

하지만, 우리는 일반적으로 간단한 하나의 함수에 대해서 문제를 풀기 보다는 복잡한 차원의 문제를 풀다보니 matrix 형태로 표현된 문제를 풀 때가 많다. (예를 들자면 Jacobian matrix를 생각해 볼 수 있겠다.)

따라서 직접 c/c++ 코드 등으로 구현을 하려면 matrix 차원에 따라 어마어마한 코딩량이 발생할 수도 있다.

이에 우리는 이러한 문제를 쉽게 풀 수 있는 Tool은 없는지 찾게 되는 것이 본능이다!

Wiki에 보면 다양한 AD Tool이 비교되어 있다. 그러나 우리에게 필요한 것은 Eigen과 함께 사용할 수 있는 Tool이 있느냐는 것!!

https://justindomke.wordpress.com/2009/02/17/automatic-differentiation-the-most-criminally-underused-tool-in-the-potential-machine-learning-toolbox/

와 같은 페이지에서 Eigen과 함께 사용할 수 있는 지에 대한 고민을 토론하고 있으나 아직 해답은 없는 것으로 보인다.