된사람 되기

지난 시간 리뷰.

아래와 같은 정현파 신호가 있을 떄, 

주기적일 필요충분 조건은 f가 유리수이고, f가 k/n으로 표시되고 k와 n이 서로 소 일 때, n이 주기 값을 갖게 된다. 

그렇다면 아래와 같이 두 개의 정현파 신호의 선형 조합으로서 신호가 구성되어 있다면, 

그리고, 처음에 말한 필요충분 조건을 만족한다고 했을 때, f1 과 f2 의 최소 공배수를 주기로 갖는다.

어차피 fk는 f0와 동일한 이산시간 주파수를 갖는다. 이 때, fk는 f0의 alias 성분이라고 한다.

f가 특정한 범위 안에 있지 않은 값들은 특정한 범위 안에 있는 값으로 재해석 될 필요가 있다.

fundamental frequency 벗어나면 더 이상 unique한 표현식을 갖지 못한다.

이 fundamental frequency의 범위는 아래와 같고, 몹시 중요하다.

그런데 이 것을 잘 생각해보면, 

즉, 여기에서 우리는 아래와 같은 중요한 개념을 구할 수 있다.

sampling frequency는 최대 주파수 성분의 2배 이상이어야 한다. 

그래야 적절한 analog 신호와 이산신호 시간 사이의 관계를 구축할 수 있다. 

몇 가지 예제를 통해 점검해 보자.

우선 첫 번쨰 예제.

x1(t)는 10Hz의 주파수, x2(t)는 50Hz의 주파수를 갖는다.

이 때, sampling frequency가 100Hz는 되어야 할 텐데 40Hz밖에 되지 않는다.

즉, 문제가 발생한다는 것인데 어떻게 될 지 살펴보자.

x1(t)의 f1은 1/4, x2(t)의 f2는 5/4가 된다.  (f는 -1/2와 1/2 사이여야 하는데 f2는 이 범위 밖에 있다.)

(*이 떄, Fs/F는 샘플링 된 신호의 주파수.. 이산신호 주파수임(원래는 F라는 주파수를 갖는 아날로그 신호))

이렇게, 어떤 신호가 fundamental frequency의 범위 밖에 있을 때 (sampling frequency * 0.5)

와 같이 fundamental 주파수 내의 값과 정수의 합 표현으로 나타내면 된다.

즉, x2(t)는 5/4의 f2를 갖지만 사실은 1+1/4로 표현되어 1/4이 된다. 

즉, 이것을 물리적인 의미로 설명하자면.. x1과 x2 두 analog 신호를 40Hz로 sampling 했더니 동일한 이산시간 주파수를 갖는다는 것이다. (충분한 sampling frequency를 갖지 못했으므로... 그래서 F2는 F1의 alias 성분이 된 것이다.) 

이 현상을 주파수 도메인에서 다시 해석해보자. 

이 때, folding frequency라는 개념이 등장한다.

그리고 2번째 예제에서 볼 수 있듯, analog signal에서 이산신호로 적절히 sampling하기 위한 최소한의 주파수를 Nyquist frequency라고 한다. 

마지막 예제를 보자.

위 처럼, Fs가 충분하지 않게 sampling이 되면 다시 D/A를 했을 때 복원된 신호가 달라지게 된다. 

중간에는 fundamental frequency의 영역을 벗어난 주파수가 조절되는 과정이 있다.

A : magnitude

1. 주파수의 협의적 의미

2. 주파수의 광의적 의미

Fourier 표현식에 따른 시간 변수 t의 또 다른 표현식

(신호를 표현하기 위한 또 다른 독립 변수 정도로...)

frequency에 대한 정의는 time에 대한 정의만큼 어렵다.

그러나 time과 Fourier 표현식 관계에 있따는 것은 알 수 있다.

샘플링 과정에서 충분한 조건을 만족하면 에러가 발생하지 않는다!?

The analog signal x_a(t) can be exactly reconstructed from its discrete time version x(n),

only if the sampling rate f_s is greater than or equal to the maximum frequency content of x_a(t)

(F_s >= F_max)

A/D Conversion의 단계는 아래와 같다.

1. sampling

  => 독립변수를 쪼갠다. (보통은 시간)

       쪼개는 간격을 sampling period라고 함

       그 역수를 취하면 sampling rate, 즉 frequency가 됨

2. quantization

 => 종속변수를 쪼갠다.

      쪼개는 간격을 quantization step size(resolution)라고 함

3. encoding

 => binary data가 어떤 의미를 갖는 지에 대한 약속

sampling과 quantization 모두 연속된 신호를 이산화 하는 과정이다.

(이 과정에서는 당연히 error가 발생할 수 있겠지?)

시간, 공간 등의 독립변수에 의해서 변화하는 물리적인 양 (physical quantity)

독립변수를 x라하면 물리량은 f(x)로 표현할 수 있을 것이다.

즉, 신호는 수학적으로 표현이 가능하다는 것!

(그런데 얼마나 정확하게 표현이 가능할까에 대한 부분은 고민해 보아야 한다.)

신호를 수학적으로 표현하는 이유는 신호를 분석(혹은 규격화)하기 위함이고!

분석된 신호는 처리(processing) 된다. 그리고 신호를 합성하는 것까지.

신호의 분류

1) scalar? or vector?

    ex) 콘덴서 마이크로폰 or 홈시어터

2) continuous time? or discrete time?

    ex) 독립변수가 countable 하지 않음, countable 함 (예를 들면 실수와 정수)

3) continuous valued? or discrete valued?

    ex) 종속변수 f가 연속적인 함수? or 불연속적인 함수?

4) deterministic? or random?

   ex) 주어진 독립 변수에 대해 종속변수의 값을 정확히 알 수 있는지? 

Digital signal은 discrete time이면서 discrete valued 의 성격을 갖는다.

보통 DSP에서 처리하는 신호는 엄밀하게 이야기하면

Digital signal이라기 보다는 descrete time signal이라고 보는 것이 맞다?

* 콘덴서 마이크로폰 (condenser microphone)

도전성을 가진 매우 얇은 막이 진동관과 고정 전극을 평행으로 배치하여 콘덴서를 만들고

음의 진동에 의한 용량의 변화로부터 전기적 출력을 얻는 것