Fourier Transform (푸리에 변환)

한 지점에서의 파동의 움직임을 계속 관측하면 주어진 각각의 시간에 파동량의 그래프를 그릴 수 있을 것이다. 이 그래프는 모든 시간 값에 대하여 대응되는 파동량을 가지고 있는 아날로그의 데이터일 것인데 이 신호를 컴퓨터를 통해서 읽으면 띄엄띄엄한 시간에 띄엄띄엄한 파동량의 디지털화 된 데이터로 될 것이다.

예를 들어 소리의 전기신호를 오실로스코프로 보면 음압이나 변위에 대한 연속적인 그래프가 화면에 바로 나타날 것이다. 이 신호를 푸리에 해석을 하여 주파수 성분을 추출하고자 한다면 앞에서 설명한 대로 여러번 적분을 행해야 할 것이다. 그러나 음압을 나타내는 전기신호는 보통 해석적인 함수가 아니므로 해석적으로 적분을 할 수 없게 되어 수치해석이 필요해 진다. 콘덴서나 코일 등의 소자를 구성해서 아날로그로의 푸리에 해석을 어느 정도는 해 낼 수 있지만 엄밀한 분석은 불가능하다.

컴퓨터를 이용한 신호분석

음파의 신호를 컴퓨터를 통해서 읽게 되면 수치해석을 컴퓨터의 연산능력으로 푸리에 해석을 할 수 있게 된다. 이 경우 컴퓨터는 신호의 변화에 대하여는 매우 짧은 시간간격이긴 하지만 어떤 유한한 간격으로 신호를 읽을 수밖에 없을 것이다. 측정의 시간 간격을 줄이면 줄일수록 원래의 아날로그 데이터에 근접하게 되겠지만 같은 시간분량에 대한 데이터 수는 시간간격에 반비례하여 늘어가게 되어 컴퓨터가 감당하지 못하게 된다. 한편 어떤 시간의 측정 값도 당연히 디지털화 된 신호일 수밖에 없다. 따라서 연속적인 모든 값을 표현하지 못하고 불연속적인 값들 중 하나로 나타내어지게 된다. 시간 축으로나 신호 축으로나 이렇게 띄엄띄엄하게 측정되는 것을 양자화되었다고 한다.

graph

음파의 샘플링_ 시간에 따라 변하는 음압값은 그림에서 노란 곡선처럼 연속적으로 변하는 아날로그 값이다. 음성분석이나 음향분석을 위해서는 주기적이 아닌 이 신호를 분석하기 위하여 데이터를 컴퓨터에서 읽어야 한다. 이렇게 아날로그 신호를 디지털 데이터로 읽는 장치를 아날로그-디지털 변환기(ADC)라고 한다, 신호의 세기 측면에서나 시간 측면에서 다 같이 샘플링 과정에서 위 그림처럼 띄엄띄엄하게 값을 읽을 수 밖에 없다. 이를 양자화(quantization)라 한다.

음악을 기록한 것 중 옛날의 LP 판은 음파의 변화를 연속적으로 기록해 둔, 일종의 아날로그형의 신호 기록으로 볼 수 있고, CD나 DAT 등은 음파를 디지털화 시켜 기록한 것으로 비교해 볼 수 있다. CD의 경우 1초에 4만번 이상으로 한 번에 16비트, 즉 6만 계단 이상으로 음을 기록해서 이를 재생하면 아날로그의 원형을 거의 완벽하게 재생해 낼 수 있게 된다. 아날로그 기록인 경우 신호가 정확하게 읽혀지지 않을 가능성이 있지만 값으로 기록된 디지털 기록은 언제나 정확하게 읽혀지게 되고 통신을 통해서도 정확하게 전달 시킬 수 있게 된다.

디지털화된 신호는 { 1.1, 1.2, 1.34, ... } 처럼 일종의 수열로서 시간 순서로 이루어져 있다면 시계열(time series)라고 한다. 이 데이터를 이제 컴퓨터에서 수치해석으로 적분하여 그 신호가 가지고 있는 각각의 주파수 성분, 즉 스펙트럼을 계산해 낼 수 있게 된다. 이에 관련된 기법을 DFT(discrete fourier transformation)라 하여 디지털 신호처리(DSP: digital signal processing) 기술의 핵심을 이루게 된다. 즉 음성인식이나 변조, 복원 등 여러 가지 기법이 DSP를 통해서 가능하게 되었다.

* 디지털 신호 처리

디지털 신호 처리(Digital signal processing, DSP)는 디지털화된 신호를 원하는 방향으로 정보 신호를 수정하거나 개선할 목적으로 알고리즘에 의해 수치적으로 처리하는 것을 말한다. 보통 아날로그 신호를 디지털화하는 과정에서 이산 신호가 되고 수치화 된다. 

DSP의 일반적인 목적은 연속적인 실세계 아날로그 신호를 측정하고 걸러내고 압축하는 것이다. 첫 단계는 샘플링이라는 과정을 통해 신호를 아날로그에서 디지털 형태로 변환하는 것이고, 그 뒤 ADC를 이용하여 디지털화하여 아날로그 신호를 연속된 수로 바꾼다. 

The goal of DSP is usually to measure, filter and/or compress continuous real-world analog signals. Usually, the first step is conversion of the signal from an analog to a digital form, by sampling and then digitizing it using an analog-to-digital converter (ADC), which turns the analog signal into a stream of discrete digital values. Often, however, the required output signal is also analog, which requires a digital-to-analog converter (DAC). Even if this process is more complex than analog processing and has a discrete value range, the application of computational power to signal processing allows for many advantages over analog processing in many applications, such as error detection and correction in transmission as well as data compression.^[1]

FFT 해석

매우 빠르게 푸리에 분석을 수행한다.

분석해야 할 시계열의 데이터가 N이라 한다면 이를 DFT를 통해서 푸리에 변환하기 위해서는 N2의 복소수 곱셈을 해야 된다. 예를 들어 1초당 1000 번 측정한 신호의 1 초간의 데이터를 한꺼번에 변환하기 위해서는 106 번의 복소수 곱셈을 해야 하므로 컴퓨터가 이를 계산해 내는데 상당한 시간이 필요로 하게 된다.

한편 데이터가 N=2m, 즉 2, 4, 8, 16, ... , 1024, ... 로 되어 있다면 계산량을 획기적으로 줄일 수 있는 방법이 개발되었다. 이를 빠른 푸리에 변환, 즉 FFT(fast fourier transformation)라고 한다. FFT를 통해서는 Nm/2 번의 복소수 곱셈이 필요하여 예를 들어 1024 개의 데이터를 변환하는데 5000 번이 된다. 이는 DFT에 비해서 1/200 정도로 계산량이 줄어든 것인데 데이터 개수가 많아질수록 그 줄어드는 비율은 커진다.

* Fourier Analysis

- Continuous-Time Fourier Series

- Continuous-Time Fourier Transform

- Discrete-Time Fourier Series

- Discrete-Time Fourier Transform

* Fourier Series

-  A way to represent a wave-like function as the sum of simple sine waves.

  More formally, it decomposes any periodic function or periodic signal into the sum of a (possibly infinite) set of simple oscillating functions, namely sines and cosines (or, equivalently, complex exponentials). 

Figures for understanding Fourier Series.

                            

Function s(x) (in red) is a sum of six sine functions of different amplitudes and harmonically related frequencies. Their summation is called a Fourier series. The Fourier transform, S(f) (in blue), which depicts amplitude vs frequency, reveals the 6 frequencies and their amplitudes.

Another visualisation of an approximation of a square wave by taking the first 1, 2, 3 and 4 terms of its Fourier series

A visualisation of an approximation of a sawtooth wave of the same amplitude and frequency for comparison

Ref. (or copied from)

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series

[2] http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/wave/superpose/compositionfourier/compositionfourier4.html

[3] http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%94%94%EC%A7%80%ED%84%B8_%EC%8B%A0%ED%98%B8_%EC%B2%98%EB%A6%AC

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_signal_processing